Формулы для расчета собственной частоты плоской фермы с дополнительными опорами

Введение. Предлагаются схема статически определимой фермы с параллельными поясами и алгоритм вывода аналитической зависимости величины прогиба конструкции под действием равномерно распределенной узловой нагрузки и первой частоты собственных колебаний от числа панелей.

Материалы и методы. Материал стержней фермы упругий, шарниры идеальные, нагрузка узловая. Ферма внешне статически неопределимая. Все расчеты усилий и преобразования в символьной форме выполняются в системе компьютерной математики. Для расчета прогиба применяется формула Максвелла – Мора. Формула для первой частоты выводится на основе варианта приближенного метода Донкерлея в предположении, что масса фермы равномерно распределена по ее узлам. Узлы совершают вертикальные колебания. Для расчета коэффициентов в формулах для прогиба и частоты используется метод индукции по числу панелей. Решение полученных рекуррентных уравнений осуществляется в системе компьютерной математики Maple.

Результаты. Коэффициенты формулы для расчета прогиба и частоты колебаний имеют вид полиномов по числу панелей степени не выше четвертой. Обнаружено, что при определенном числе панелей ферма допускает кинематическую изменяемость. Представлен пример кинематически непротиворечивой картины распределения виртуальных скоростей узлов фермы. Метод, примененный для оценки частоты колебаний, показал хорошую точность в сравнении с численным, учитывающим все степени свободы принятой модели фермы. Расчет проведен для кинематически допустимых чисел панелей конструкции. Приведен общий член последовательности таких чисел.

Выводы. Использованные для оценки деформаций и собственной частоты методы и алгоритм показали свою эффективность и могут быть применены для аналогичных расчетов регулярных конструкций. Найденные случаи кинематической изменяемости указывают на необходимость кинематической проверки используемых на практике стержневых конструкций.

1. Zhou J., Zeng Y., Li G. Size, shape and topology optimization of truss structure via the finite particle method // Computers & Structures. 2024. Vol. 305. P. 107570. DOI: 10.1016/j.compstruc.2024.107570

2. Wang Q., Yang W., Wang L., Bai G., Ma G. Reinforcement design and structural performance for the topology optimized 3D printed concrete truss beams // Engineering Structures. 2025. Vol. 332. P. 120064. DOI: 10.1016/j.engstruct.2025.120064

3. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Метод конечных элементов в форме классического смешанного метода строительной механики (теория, математические модели и алгоритмы). М. : Издательство АСВ, 2022. 306 с. EDN CSOLBF.

4. Hutchinson R.G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids — The hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2005. Vol. 85. Issue 9. Pp. 607–617. DOI: 10.1002/zamm.200410208

5. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. Issue 4. Pp. 756–782. DOI: 10.1016/j.jmps.2005.10.008

6. Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Approximate analytical approach in analyzing an orthotropic rectangular plate with a crack // Materials Physics and Mechanics. 2018. Vol. 36. Issue 1. Pp. 137–141. DOI: 10.18720/MPM.3612018_15

7. Goloskokov D.P. Analyzing simply supported plates using Maple system // 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA). 2014. Pp. 55–56. DOI: 10.1109/ICCTPEA.2014.6893273

8. Комерзан Е.В., Ниналалов И.Г., Свириденко О.В. Расчет основной частоты собственных колебаний плоской модели составной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 4 (39). С. 27–34. DOI: 10.36622/VSTU.2023.39.4.003. EDN DLVBCD.

9. Комерзан Е.В., Свириденко О.В. Аналитический расчет прогиба плоской внешне статически неопределимой фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2021. № 2 (29). С. 29–37. EDN LJWUOW.

10. Sviridenko O.V., Komerzan E.V. The dependence of the natural oscillation frequency of the console truss on the number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2022. No. 3 (101). P. 10101. DOI: 10.4123/CUBS.101.1. EDN CKQDPU.

11. Комерзан Е.В., Свириденко О.В. Статические деформации фермы составной пространственной рамы. Аналитические решения // Строительная механика и конструкции. 2022. № 4 (35). С. 40–48. DOI: 10.36622/VSTU.2022.35.4.005. EDN NCYGXE.

12. Грибова О.В. Формулы для расчета прогиба и частоты собственных колебаний плоской фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2025. № 1 (44). С. 31–39. DOI: 10.36622/2219-1038.2025.44.1.003. EDN EHTDEW.

13. Манукало А.С. Анализ значения первой частоты собственных колебаний плоской шпренгельной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 54–60. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.006. EDN UXEELW.

14. Luong C.L. Resonance safety zones of a truss structure with an arbitrary number of panels // Construction of Unique Buildings and Structures. 2024. No. 4 (113). P. 11304. DOI: 10.4123/CUBS.113.4. EDN FLBVJY.

15. Лыонг Конг Л. Зависимость области резонансно безопасных частот от размеров статически определимой плоской фермы // Строительная механика и конструкции. 2024. № 2 (41). С. 16–26. DOI: 10.36622/2219-1038.2024.41.2.002. EDN AKAVDU.

16. Petrenko V.F. The natural frequency of a two-span truss // AlfaBuild. 2021. No. 5 (20). P. 2001. DOI: 10.57728/ALF.20.1. EDN RISIKU.

17. Овсянникова В.М. Зависимость прогиба плоской внешне статически неопределимой фермы от числа панелей // Строительная механика и конструкции. 2020. № 4 (27). С. 16–25. EDN EJKATV.

18. Kirsanov M.N., Safronov V.S. Analytical estimation of the first natural frequency and analysis of a planar regular truss oscillation spectrum // Magazine of Civil Engineering. 2022. № 3 (111). DOI: 10.34910/MCE.111.14. EDN CNTIPO.

19. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Аналитическая оценка основной частоты собственных колебаний регулярной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 17–26. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.002. EDN GMNMJQ.

20. Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Оценка основной частоты колебаний Г-образной пространственной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). С. 35–45. DOI: 10.36622/VSTU.2023.37.2.004. EDN UGWBIP.

21. Kirsanov M.N. Formulas for the First Two Frequencies of Natural Oscillations of a Regular truss // AlfaBuild. 2025. № 2 (34). P. 3401. DOI: 10.57728/ALF.34.1

22. Кирсанов М.Н. Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы : справочник. Т. 3. М. : ИНФРА-М, 2023. 178 с. DOI: 10.12737/1939108.EDN SSYJKQ.

23. Levy C. An iterative technique based on the Dun-kerley method for determining the natural frequencies of vibrating systems // Journal of Sound and Vibration. 1991. Vol. 150. Issue 1. Pp. 111–118. DOI: 10.1016/0022-460X(91)90405-9

24. Rutenberg A. A lower bound for Dunkerley’s formula in continuous elastic systems // Journal of Sound and Vibration. 1976. Vol. 45. Issue 2. Pp. 249–252. DOI: 10.1016/0022-460x(76)90599-x

25. Kirsanov M.N. Simplified Dunkerley method for estimating the first oscillation frequency of a regular truss // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. No. 3 (108). P. 10801. DOI: 10.4123/CUBS.108.1