Моделирование распространения гармонических продольных волн в дискретно-неоднородных линейно-упругих стержнях

Введение. Изучаются закономерности распространения гармонических продольных волн в дискретно-неоднородных линейно-упругих стержнях. Актуальность обусловлена задачей управляемого переноса и локализации механической энергии в инженерных системах. Цель исследования — разработать общее аналитическое решение волнового поля для полубесконечных дискретно-неоднородных стержней, состоящих из произвольного количества слоев, а также показать, что выбор последовательности слоев, их толщин и контрастов механических параметров (модуля упругости, плотности и акустического импеданса) позволяет управлять амплитудно-частотными характеристиками и создавать зоны усиления и ослабления колебаний в заданных диапазонах частот.

Материалы и методы. Предложено общее аналитическое решение для стержней, составленных из конечного числа слоев с кусочно-постоянными параметрами. В каждом слое поле представляется суперпозицией встречных бегущих волн, а на границах раздела сред выполняются условия непрерывности перемещений и нормальных напряжений. Это приводит к матричному описанию (метод передаточных (импедансных) матриц)), позволяющему: вычислять комплексные амплитуды в слоях, получать коэффициенты отражения/прохождения для заданной частоты возбуждения ω и строить амплитудно-частотные характеристики в произвольной точке стержня. Приведена методика численного конечно-элементного моделирования дискретно-неоднородных стержневых моделей в программном комплексе ANSYS Mechanical APDL.

Результаты. Показано, что дискретная неоднородность материала позволяет целенаправленно формировать амплитудно-частотные характеристики и управлять волновыми процессами, создавая зоны усиления или ослабления колебаний. На примере трехслойного стержня приведены зависимости амплитуд колебаний от параметров материала (разных скоростей распространения волн в среде) и частоты внешнего воздействия. Выполнена численная верификация с аналитическим решением, подтвердившая корректность методики моделирования.

Выводы. Полученные результаты открывают перспективы практического применения при решении инженерных задач, включая проектирование сейсмических барьеров, волноводов и фильтров с заданными динамическими свойствами, повышающих устойчивость конструкций к вибрационным и сейсмическим воздействиям.

1. Wu L., Wang Y., Chuang K., Wu F., Wang Q., Lin W. et al. A brief review of dynamic mechanical metamaterials for mechanical energy manipulation // Materials Today. 2021. Vol. 44. Pp. 168–193. DOI: 10.1016/j.mattod.2020.10.006

2. Reismann H., Tsai L.W. Wave Propagation in Discretely Inhomogeneous Elastic Cylindrical Rods — A Comparison of Two Theories // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1972. Vol. 52. Issue 1. Pp. 1–10. DOI: 10.1002/zamm.19720520101

3. Brekhovskikh L.M. Waves in Layered Media. New York : Academic Press, 1980. 503 p.

4. Ewing M., Jardetzky W., Press F. Elastic Waves in Layered Media. New York : McGraw-Hill, 1957. 405 p.

5. Aki K., Richards P.G. Quantitative Seismology. 2nd Ed. University Science Books, 2002. 700 p.

6. Kuznetsov S.V. Love waves in stratified monoclinic media // Quarterly of Applied Mathematics. 2004. Vol. 62. Issue 4. Pp. 749–766. DOI: 10.1090/qam/2104272

7. Kayuk Y.F., Shekera M.K. On one dynamic problem for structurally inhomogeneous beams // International Applied Mechanics. 2007. Vol. 43. Issue 11. Pp. 1256–1263. DOI: 10.1007/s10778-007-0129-0

8. Mazzei A.J., Scott R.A. Harmonic Forcing of Damped Non-homogeneous Elastic Rods // Sensors and Instrumentation, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting & Dynamic Environments Testing. 2025. Vol. 7. Pp. 33–43. DOI: 10.1007/978-3-030-12676-6_3

9. Kuznetsov S.V. Acoustic waves in functionally graded rods with periodic longitudinal inhomogeneity // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2023. Vol. 30. Issue 7. Pp. 1410–1416. DOI: 0.1080/15376494.2022.2032888

10. Šalinić S., Obradović A., Tomović A. Free vibration analysis of axially functionally graded tapered, stepped, and continuously segmented rods and beams // Composites Part B: Engineering. 2018. Vol. 150. Pp. 135–143. DOI: 10.1016/j.compositesb.2018.05.060

11. Safari-Kahnaki A., Hosseini S.M., Tahani M. Thermal shock analysis and thermo-elastic stress waves in functionally graded thick hollow cylinders using analytical method // International Journal of Mechanics and Materials in Design. 2011. Vol. 7. Issue 3. Pp. 167–184. DOI: 10.1007/s10999-011-9157-3

12. Wu B., Su Y.P., Liu D.Y., Chen W.Q., Zhang C.Z. On propagation of axisymmetric waves in pressurized functionally graded elastomeric hollow cylinders // Journal of Sound and Vibration. 2018. Vol. 412. Pp. 17–47. DOI: 10.1016/j.jsv.2018.01.055

13. Sajid N., Akram G. Solitary dynamics of longitudinal wave equation arises in magneto-electro-elastic circular rod // Modern Physics Letters B. 2021. Vol. 35. Issue 5. P. 2150086. DOI: 10.1142/S021798492150086X

14. Keles İ., Aydın K. Practical Jointed Approach to Functionally Graded Structures // International Journal of Engineering and Applied Sciences. 2020. Vol. 12. Issue 2. Pp. 57–69.

15. Kuznetsov S.V. Seismic waves and seismic barriers // Acoustical Physics. 2011. Vol. 57. Issue 3. Pp. 420–426. DOI: 10.1134/S1063771011030109

16. Kuznetsov S.V. Acoustic black hole in a hyperelastic rod // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2023. Vol. 74. Issue 3. DOI: 10.1007/s00033-023-02020-x

17. Bratov V., Murachev A., Kuznetsov S.V. Utilization of a Genetic Algorithm to Identify Optimal Geometric Shapes for a Seismic Protective Barrier // Mathematics. 2024. Vol. 12. Issue 3. P. 492. DOI: 10.3390/math12030492

18. Кузнецов С.В., Саиян С.Г. Нелинейные акустические волны в гиперупругих стержнях // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2025. № 2. С. 210–225. DOI: 10.31857/S1026351925020129. EDN ANREGK.

19. Shemali A.A., Javkhlan S., Kuznetsov S. Seismic protection from bulk and surface waves // AIP Conference Proceedings. 2023. Vol. 2759. P. 030006. DOI: 10.1063/5.0103993

20. Sommerfeld А. Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1912. Vol. 21. Pp. 309–353.

21. Modestov K., Saiyan S., Erokhin A., Brygar O. Derivation of the one-dimensional radiation condition in elasticity theory by introducing infinitesimal viscosity // E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 410. P. 03025. DOI: 10.1051/e3sconf/202341003025

22. Butcher J. Runge-kutta methods // Scholarpedia. 2007. Vol. 2. Issue 9. P. 3147. DOI: 10.4249/scholarpedia.3147

23. Carpenter M.H., Gottlieb D., Abarbanel S. Time-stable boundary conditions for finite-difference schemes solving hyperbolic systems: methodology and application to high-order compact schemes // Journal of Computational Physics. 1994. Vol. 111. Issue 2. Pp. 220–236. DOI: 10.1006/jcph.1994.1057

24. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1947. Vol. 43. Issue 1. Pp. 50–67. DOI: 10.1017/S0305004100023197

25. Newmark N.M. A method of computation for structural dynamics // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1959. Vol. 85. Issue 3. Pp. 67–94. DOI: 10.1061/jmcea3.0000098

26. Hilber H.M., Hughes T.J.R., Taylor R.L. Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1977. Vol. 5. Issue 3. Pp. 283–292. DOI: 10.1002/eqe.4290050306

27. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I., Kuznetsov S. Hybrid asynchronous absorbing layers based on Kosloff damping for seismic wave propagation in unbounded domains // Computers and Geotechnics. 2019. Vol. 109. Pp. 69–81. DOI: 10.1016/j.compgeo.2019.01.019

28. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I., Kuznetsov S. Explicit/implicit multi-time step co-simulation in unbounded medium with Rayleigh damping and application for wave barrier // European Journal of Environmental and Civil Engineering. 2020. Vol. 24. Issue 14. Pp. 2400–2421. DOI: 10.1080/19648189.2018.1506826

29. Li S., Brun M., Djeran-Maigre I., Kuznetsov S. Benchmark for three-dimensional explicit asynchronous absorbing layers for ground wave propagation and wave barriers // Computers and Geotechnics. 2021. Vol. 131. P. 103808. DOI: 10.1016/j.compgeo.2020.103808